樹木は、表面にかかる応力がどこもほぼ等しくなるように育ちます。マテック（Mattheck）氏が「一様応力の公理」と呼んだこの考え方を、先細りの幹、てこの腕、傷を補う成長、根張りの引張三角形、機械設計の CAO・SKO まで、論文をもとに樹木医が解説します。
ドイツの物理学者クラウス・マテック氏の樹木の力学の研究と、VTA（Visual Tree Assessment）を、一次資料で確かめながら読んでいく連載の第2回です。第1回では、人物と研究の歩みを紹介しました。今回は、VTA の土台にある「樹木は、かかる力に合わせて自分の形を整える」という考え方を取り上げます。外観診断で、幹のふくらみや根張りの形、傾いた幹の曲がり方を見るのはなぜか。その理由の多くが、この回の話につながっています。
先に答え
- マテック氏らは、樹木が力に合わせて形と材を整える仕組みを5つの定理にまとめています。中心にあるのが、表面の応力を均す「一様応力の公理」です。
- 一様応力の公理は、応力の高い所（折れの起点）も低い所（材のむだ）も作らないように育つ、という考え方です。1893年にメッツガー（Metzger）氏がトウヒの幹の先細りから示し、マテック氏らが生き物の体のつくり全般の決まりとして広げました。
- 傷や腐朽で応力の釣り合いがくずれると、樹木はその所に材を足して戻そうとします。外観診断でふくらみを「中に何かある」しるしとして読むのは、このためです。
- 幹と地面がつくる角（切欠き）を、根張りは45°ほどの綱のように橋渡しします。この形から生まれた作図の「引張三角形の方法」は、CAO・SKO とともに機械部品の設計に使われてきました。
- ただし、実際の幹の形がこの考え方どおりかは、研究によって結果が分かれます。
樹木は「自分で形を整える」構造物──5つの定理
マテック氏と、カールスルーエ研究センターの同僚テサリ（Tesari）氏は、2004年の論文「The mechanical self-optimisation of trees（樹木の力学的な自己最適化）」で、この考え方をまとめています。論文によると、どんな場合にも壊れない頑丈なつくりは、材とエネルギーがかかりすぎて種として割に合いません。樹木は、自然に一定の割合で壊れるものが出ることを受け入れたうえで、早すぎる破壊を防ぐように、外形から材の中身までをふだんの荷重に合わせて整えている、という見方です。
| 定理(英語名) | 中身 | 樹木での例 |
|---|---|---|
| てこの腕を短くする(Minimisation of lever arms) | 荷重がかかる「てこの腕」を短くして応力を下げる | 頂部を失った木で横の枝が起き上がる、傾いた木があて材で起き上がる |
| 一様応力の公理(Axiom of uniform stress) | 表面の応力の集中を成長で減らし、避けられない応力は表面に均等に分ける | 幹の先細り、根の断面の形 |
| せん断応力を小さくする(Minimisation of critical shear stresses) | 繊維を力の流れに沿って並べ、繊維どうしのずれを小さくする | 枝のつけ根を紡錘形に回り込む繊維 |
| 材の強さを荷重に合わせる(Adaptation of the strength of wood to mechanical stresses) | 荷重の大きさと種類に合わせて材の質を変える | ナラの枝の下側の材は圧縮に強い |
| 成長応力で打ち消す(Growth stresses) | 材に残る応力が、外からの荷重による危ない応力を打ち消す | 幹の外側の繊維方向の引張の応力 |
出典は Mattheck & Tesari 2004(p.197〜203)。和名は当社が当てたもの。
たとえば成長応力について、論文は、木材の圧縮の強さは引張の強さの4分の1から2分の1ほどしかなく、幹の外側にあらかじめ入っている引張の応力が、風下側にかかる圧縮を打ち消していると説明しています（p.202〜203）。この回では、診断とのつながりが深い一様応力の公理とてこの腕を中心に見ていきます。
一様応力の公理──弱い所も、むだな所も作らない
一様応力の公理（axiom of uniform stress）は、樹木は表面の応力がどこもほぼ同じになるように育つ、という考え方です。最初に示したのは1893年のメッツガー氏で、トウヒの幹が、上から下まで応力がほぼ一定になるように細っていることを見いだしました（Albrecht ら 1995 による紹介）。マテック氏らはこれを、生き物の体を支えるつくり全般に当てはまる設計の決まりとして広げました。
手段は毎年の年輪です。外側の年輪は、応力の高い所では厚く、低い所では薄くつくられます。論文の例では、曲げだけを受ける根は I 形の鋼材に似た「8の字」の断面になり、引張と曲げを同時に受ける根は上側がよく太ります。ナラの枝は上側の年輪が厚い縦長の楕円になり、成長錐で抜いた試料では、いつも押される下側の材ほど圧縮に強い値が出ました。国総研の「街路樹の倒伏対策の手引き 第2版」も、広葉樹の枝は上側に引張あて材、のちに下側にも支えの材が発達して縦長の断面になり、針葉樹の枝は下側に圧縮あて材ができるとしています（p.1-11。出典はマテック氏の邦訳書『最新 樹木の危険度診断入門』）。
届かない範囲もあります。1995年の論文（Albrecht ら）は、公理が当てはまるのは繊維の方向の応力で、繊維と直角の向きには当てはまらないと書いています。直角に引っ張られた材は層のようにはがれることがあり、同じ論文は、3本のセイヨウトネリコの根張りで、直角の向きの応力が高い所で材の直角の向きの強さも高いことを確かめています。形で均せない向きには、材の強さで備えている、という見方です。
先細りの幹──太さは曲げの大きさに合わせて決まる
風を受けた幹は、根元に固定された片持ちの梁のように曲げられます。国総研の手引きは、曲げ応力を「曲げモーメント÷断面係数」とし（p.1-12）、丸い幹の断面係数を πD³/32（D は直径）としています（p.1-12・1-16）。曲げに耐える力は直径の3乗に比例する、ということです。
樹冠に受けた風の力を1点にまとめると、曲げモーメントはその点から下へ離れるほど大きくなります。表面の応力をどの高さでも同じにするには、直径が「荷重点までの距離の3乗根」に比例すればよいことになります。計算すると、荷重点と根元の中間の高さでも、直径は根元の約79％（0.5の3乗根）で、半分にはなりません。円錐のようにまっすぐ細るのではなく、上の方で急に細る形です。同じ計算から、直径が2倍になると曲げに耐える力は8倍になることも分かります。太さの少しの違いが強さの大きな違いになるこの関係は、第6回の t/R の話にもつながります。
この見方は林学の分野で何度も検証され、結果は一通りではありません。モーガン（Morgan）氏とキャネル（Cannell）氏（1994年）は、文献の幹の形が一様応力になる形とよく合い、ふだんの風速（毎秒2.5〜10m）ではその形がほぼ変わらないことを示しましたが、支持されたのは根元のふくらみより上の部分です。ディーン（Dean）氏ら（2002年）は北米の針葉樹9種で調べ、多くは予測に近い一方、ダグラスファーははっきり合わず、幹は「曲がりの度合い」を一様に保つように細ることが示唆される、と述べています（いずれも要旨で確認）。公理は樹木の形をよく説明しますが、すべての樹種、幹のすべての部分にそのまま当てはまるわけではありません。
てこの腕を短くする──傾いた樹木が起き上がる理由
同じ重さでも、支点から遠い所にかかるほど、根元を回そうとする力（曲げモーメント）は大きくなります。樹木はこの「てこの腕」を短くして応力を下げる、と2004年の論文は書いています。ふだんは主軸の先端（頂部の枝）が横の枝の起き上がりを抑えていますが、頂部が失われると、横に張り出していた枝が起き上がって新しい頂部になります。斜面で傾いた樹木は、あて材をつくって起き上がり、サーベルのような形や蛇行した形に育ちます。どちらも、重心を根鉢の真上に寄せる動きです。
日本の資料にも同じ考え方が出てきます。国総研の手引きは、枝の曲げモーメントは枝が長く先端に荷重がかかるほど大きくなるとして、先端にだけ枝葉が茂った「ライオンテール」状の枝の写真を載せ（p.1-11）、マテック氏のフィールドガイドの邦訳を出典に、樹高÷幹の直径（H/D）が50以上、枝の長さ÷枝の直径（L/D）が40以上で倒伏や折損が増えるとしています（p.1-13）。東京都の「令和3年度 街路樹診断等マニュアル」も、幹が傾いている場合は、健全なあて材が十分に残っているかなどを合わせて判断するよう書いています（p.66）。外観診断で傾きや枝の長さ、枝葉の偏りを見るのは、てこの腕の長さを見ていることになる、というのが私の整理です。
補修のための成長──傷や腐朽の所に、材を足す
一様応力の公理が診断に直接つながるのが、この話です。1995年の論文（Albrecht ら）は、傷を受けると均一だった応力の分布が局所的に高い応力（切欠き応力）で乱され、樹木は傷をふさぐ成長で元の状態に戻そうとする、と書いています。カールスルーエ工科大学（KIT）の2014年のプレスリリースも、樹木は風、亀裂、傷、菌の攻撃に対して、弱くなった所に、局所的に高くなった応力が釣り合うまで材を足し続ける、と紹介しています。
幹の一部のふくらみや傷のまわりの盛り上がりは、樹木がそこに材を足した跡かもしれません。マテック氏とベトゲ（Bethge）氏は1993年の論文で、欠陥のある高さに材を足すこの補修のための成長（repair growth）を、力学的な欠陥を知らせる警告のしるし、つまり症状だと書いています。症状ごとの読み方は第4回で取り上げます。
東京都のマニュアルは、樹勢を見る視点の1つに「剪定後の巻き込み」を挙げ（p.18〜19）、枝の切り残し（スタブカット）があると巻き込みができず腐朽が幹に達するおそれがある、としています（p.72）。マテック氏は切り口を巻き込む成長を切欠きの応力を均す働きとして、東京都は樹勢と腐朽を防ぐ働きとして見ています。説明の切り口は違っても同じ成長を見ている、というのが私の見方です。
ただし、ふくらみは欠陥のしるしであって、強さが足りている証明ではありません。KIT は VTA を「外から警告のしるしを見つけ、それを詳しく調べる方法」と説明しています。中の健全な材がどれだけ残っているかは、レジ（Resi PD）やピカスなどの機器で確かめます。
切欠きと引張三角形──根張りが教える角の形
機械部品の疲労による破壊は、多くが切欠き（ノッチ）や形の変わり目に応力が集まって始まる、と2004年の論文は書いています。角が鋭いほど応力は集まり、2010年の論文によると、円い穴を平たい楕円にすると応力の集中を表す係数は3から9に上がり、先端の丸みがゼロになった形が亀裂です。
樹木にとっての大きな切欠きは、幹と地面がつくる角です。2010年の論文によると、樹木はこの角を根張り（buttress root）で橋渡しし、根張りはふつう風上側でよく発達します。根張りの断面では上側の年輪がとても厚く、この偏った成長が三角形をつくります。2007年の論文は、幹の足もとに45°の向きの「引張の綱」が根の上側に沿って伸びている、と表現しています。
この形をまねたのが「引張三角形の方法（method of tensile triangles）」で、2007年の論文によると、マテック氏が2005年の終わりに導いた作図だけの方法です。直角の角を45°の斜辺の三角形で橋渡しすると、1つの鋭い角が鈍い2つの角に変わり、鈍い角ほど応力の集中は小さくなります。できた角に同じように三角形を当てることを1〜2回くり返し、最後に折れ目を円で丸めます（2010年の論文）。同じ論文は鋼の試験片の疲労試験で、溝の端をこの形にすると、端に穴をあける従来のやり方より、壊れるまでの回数が大きく増えたと報告しています（p.465〜467）。
根張りや幹の分かれ目、枝のつけ根の形は、樹木が角の応力を均そうとしてきた結果として読めます。2007年の論文は、U 字形に分かれた機械部品の内側の角をこの方法で丸めると、切欠きの応力がほとんど無くなることを計算で示しています。形がこの「均した形」からどう外れているかを見ることが、外観診断の手がかりになります。外れ方の読み方は第4回・第5回で取り上げます。
樹木と骨から、機械の設計へ──CAO と SKO
マテック氏らの研究の特徴は、樹木から学んだ決まりを機械の設計に移したことです。カールスルーエ研究センターでは1980年代の終わりから、樹木と骨の成長をコンピューターでまねて、部品の形を最適化してきました（2007年の論文）。
| 方法 | まねた仕組み | やっていること |
|---|---|---|
| CAO(Computer Aided Optimization) | 樹木の年輪の成長 | 有限要素法で応力を計算し、応力の高い所ほど材がふくらむ仮の熱膨張を与えて形を直し、くり返すと表面の応力が均一になる |
| SKO(Soft Kill Option) | 骨の石灰化 | 荷重の大きい所は硬く、小さい所は柔らかくする計算をくり返し、働いていない部分を内側も含めて取り除く |
| 引張三角形の方法 | 根張り | 有限要素法を使わず、作図だけで切欠きの形を決める |
出典は Mattheck & Tesari 2004(p.204〜206)、Mattheck, Kappel & Sauer 2007(p.301)。
2004年の論文は、骨は荷重の小さい部分を取り除いて軽くなれるが、何百年も同じ場所に立つ樹木は材を取り除かず足す、と両者の違いを説明し、CAO は自動車や整形外科の分野で部品の寿命を延ばすのに使われてきたと書いています。これらの方法はドイツ技術者協会の指針 VDI 6224 Blatt 2（2012年8月。現在は廃止）に取り入れられ、KIT の紹介ページは、マテック氏の原理が2016年までに規格 DIN ISO 18459（国際規格 ISO 18459:2015 のドイツ版）にまとめられたとしています。
当社の考え方
現場での経験から、外観診断で幹や根元を見ていると、樹木の形には理由があると感じる場面が多くあります。傾いた幹の反り、片側だけ発達した根張り、傷のまわりの盛り上がり。一様応力の公理は、そうした形を「樹木が力に合わせて直してきた跡」として筋道立てて読むための考え方だと、私は受け止めています。
一方で、研究が示すとおり、幹の形がいつも理屈どおりとは限りませんし、形が教えてくれるのは「どこを詳しく調べるべきか」までです。当社は、外観診断で形と症状を読み、必要な樹木でレジやピカスによる機器診断に進んでいます。形を読む目と中を測る機器を組み合わせて、安全の確保と樹木を残す努力の両方を考えていきたいと思います。
株式会社トシ・ランドスケープのツリーリスクアセスメント(樹木診断)部門では、樹木医が外観診断から機器診断、報告書の作成、その後の管理計画までを一貫して担当しています。ご依頼は、マンション管理組合様、学校施設、寺社の御神木など様々です。幹のふくらみや傾き、根元の形が気になる樹木がありましたら、樹木診断のサービスページをご覧のうえ、お問い合わせフォームからのご相談をお待ちしています。
次回は、この考え方の上に組み立てられた診断の方法、VTA そのものの成り立ちと手順を取り上げます。
株式会社トシ・ランドスケープ
樹木医 中村雅俊
よくあるご質問(一様応力の公理について)
Q1. 一様応力の公理とは何ですか？
A. 樹木は、表面にかかる応力がどこもほぼ同じになるように育つ、という考え方です。応力の高い所は折れの起点に、低い所は材のむだになるので、その両方を避けるように年輪の厚さを変えていきます。1893年のメッツガー氏の研究をもとに、マテック氏らが生き物の体のつくり全般の決まりとして広げました。
Q2. 幹が根元ほど太いのはなぜですか？
A. 風で曲げられたとき、曲げモーメントは根元に近いほど大きくなるからです。曲げに耐える力は直径の3乗に比例するので、表面の応力をそろえるには、直径を荷重点までの距離の3乗根に比例させればよいことになります。ただし、実際の幹がこのとおりかどうかは、樹種や幹の部分によって研究の結果が分かれています。
Q3. 傾いている樹木は危ないのですか？
A. 傾きだけでは決まりません。樹木はあて材をつくって起き上がり、重心を根鉢の上へ戻そうとします。東京都の街路樹診断等マニュアルも、幹が傾いている場合は健全なあて材が十分に残っているかなどを合わせて判断するとしています。傾きの向き、根元や根張りの状態を合わせて診ます。
Q4. 傷のまわりや幹の一部がふくらんでいるのは、よい兆候ですか？
A. ふくらみは、樹木が弱くなった所に材を足した跡で、中に欠陥があることを知らせる症状と考えられています。材を足していること自体は樹木の働きですが、強さが足りている証明ではありません。気になるふくらみがあれば、機器で中の健全な材の厚みを確かめます。
Q5. 引張三角形の方法とは何ですか？
A. 幹の根元の角を根張りが45°ほどで橋渡しする形をまねた、切欠きの形を決める作図の方法です。直角の角を45°の三角形で埋め、できた角にさらに三角形を当て、最後に円で丸めます。マテック氏が2005年に導いた方法で、機械部品の設計に使われています。
Q6. CAO や SKO は樹木の診断に使うものですか？
A. いいえ。CAO と SKO は、樹木と骨の成長をコンピューターでまねて、機械部品の形を最適化する設計の方法です。樹木の診断に使うのは、その元になった「樹木は力に合わせて形を整える」という見方のほうです。
出典・参考情報
研究(全文を確認したもの)
・Mattheck, C. & Tesari, I. (2004) The mechanical self-optimisation of trees. In: Collins, M.W. & Brebbia, C.A. (eds.) Design and Nature II. WIT Press, pp.197–206 5つの定理(p.197〜198)、メッツガーの研究と一様応力(p.198〜199)、根と枝の断面・材の強さ(p.199〜200)、繊維の向き(p.200〜201)、成長応力(p.202〜203)、CAO・SKO・CAIO(p.204〜206)
・Mattheck, C., Kappel, R. & Sauer, A. (2007) Shape optimization the easy way: the ‘method of tensile triangles’. International Journal of Design & Nature 2(4): 301–309 CAO・SKO の歩みと引張三角形の方法の成り立ち(p.301)、二股の形の部品(p.303、図6 p.307)
・Mattheck, C., Wissner, C., Tesari, I. & Bethge, K. (2010) Easing cracks with the Method of Tensile Triangles. In: Design and Nature V. WIT Transactions on Ecology and the Environment 138: 461–467 根張りと引張三角形(p.462〜463)、切欠きと亀裂(p.464)、鋼の試験片の疲労試験(p.465〜467)
・Albrecht, W.A., Bethge, K.A. & Mattheck, C.G. (1995) Is lateral strength in trees controlled by lateral mechanical stress? Journal of Arboriculture 21(2): 83–87 メッツガーの研究、傷と切欠き応力、公理の届く範囲(p.83)
・Mattheck, C. & Bethge, K. (1993) Detection of decay in trees with the Metriguard Stress Wave Timer. Journal of Arboriculture 19(6): 374–378 補修のための成長(repair growth)とそれが症状になること(p.374)
研究(要旨・書誌で確認したもの)
・Morgan, J. & Cannell, M.G.R. (1994) Shape of tree stems: a re-examination of the uniform stress hypothesis. Tree Physiology 14(1): 49–62(要旨で確認)
・Dean, T.J., Roberts, S.D., Gilmore, D.W., Maguire, D.A., Long, J.N., O’Hara, K.L. & Seymour, R.S. (2002) An evaluation of the uniform stress hypothesis based on stem geometry in selected North American conifers. Trees 16(8): 559–568(要旨で確認)
・Metzger, K. (1893) Der Wind als maßgeblicher Faktor für das Wachstum der Bäume. Mündener Forstliche Hefte(Mattheck & Tesari 2004 の引用で確認)
・Mattheck, C. & Burkhardt, S. (1990) A new method of structural shape optimization based on biological growth. International Journal of Fatigue 12: 185–190(書誌で確認。CAO を紹介した初期の論文)
・Baumgartner, A., Harzheim, L. & Mattheck, C. (1992) SKO (soft kill option): the biological way to find an optimum structure topology. International Journal of Fatigue 14: 387–393(書誌で確認。SKO の原論文)
KIT・規格
・KIT Press Release 057/2014「The Body Language of Trees」(2014年5月12日)
・KIT「100 Objects」070 The Tension Triangle as a Bionic Stabilization Principle
・VDI 6224 Blatt 2(2012年8月、廃止)、ISO 18459:2015 Biomimetics — Biomimetic structural optimization(DIN ISO 18459:2016-08)(規格の書誌で確認)
行政の資料
・国土技術政策総合研究所「街路樹の倒伏対策の手引き 第2版」(国総研資料 第1059号、2019年2月) p.1-11(枝の曲げモーメント、引張あて材と支えの材)、p.1-12(曲げ応力と断面係数)、p.1-13(H/D 比・L/D 比)、p.1-16(断面係数 πD³/32)
・東京都建設局「令和3年度 街路樹診断等マニュアル」 p.18〜19(樹勢の視点と剪定後の巻き込み)、p.66(傾いた幹とあて材)、p.72(スタブカット)
マテック博士と VTA 法・樹木診断の記事
連載「マテック博士と VTA 法」
外観診断・機器診断の解説
・樹木医は街路樹診断で何を見ているか(後編) 機器診断のt/R率と腐朽空洞率、総合判定、処置、フォローアップ診断
・樹木医は街路樹診断で何を見ているか(前編) 東京都の街路樹診断等マニュアルの流れで、樹木点検と外観診断の18項目を解説
・レジストグラフ・貫入抵抗測定器とは何か。樹木医がレジ（Resi PD）で幹の中を「針」で診る機器診断を、一般の方向けに解説します
・ピカス（PiCUS）とは何か。音波と電気抵抗で幹の断面を診る樹木診断機器を、樹木医が解説します
・レジ（Resi PD）の波形の読み方──回転抵抗と貫入抵抗の2本の線、樹種による違い、根株の読み方を樹木医が解説
・東京都「街路樹診断等マニュアル」の要点と、国土交通省の点検・診断の指針(案)──大型化・老木化する街路樹・公園樹木の管理を樹木医が解説
・樹木医がイギリスの樹木診断に学ぶ ― 都市の樹木を守るための対話と発見
IML社の樹木診断機器(連載)
・ツリーキネティック（PiCUS TreeQinetic）の仕組みと考え方──ロープで木を引き、根返りと幹折れの安全率を見積もる静的負荷試験（引張り試験）を樹木医が解説
・キャリパー（PiCUS Calliper 3）の役割と測り方──幹の形を三角測量で測り、断面画像の精度を上げる方法を樹木医が解説
・トロニック（PiCUS TreeTronic 3）の構成と測り方──電気抵抗で断面を描き、音波の画像と重ねて読む方法を樹木医が解説
・ピカス（PiCUS Sonic Tomograph 3）の構成と測り方──測定点の数、キャリパーの扱いを樹木医が解説
・IML-RESI FシリーズとMD300──ワックス紙に曲線を刻むレジと、手で感じる機械式の穿孔器を樹木医が解説
・IML-RESI PowerDrill（PDシリーズ）の機種とオプション──レジ（Resi PD）7機種の違いと選び方を、樹木医が解説
・IML社とは──レジ（Resi PD）とピカスをつくるドイツの樹木診断機器メーカーを、樹木医が解説
診断の記録
・【ツリーケア最前線】樹木医が語るレジ（Resi PD）診断とロープワークの統合 相模原市での樹木診断レポート
・区保存樹木イチョウ 樹木医・高所外観診断 東京都
サービス
・樹木診断（ツリーリスクアセスメント部門）
・GREEN MANAGEMENT
※ 「レジストグラフ」は、穿孔抵抗測定器を指す通称として、日本の樹木診断の現場で広く使われています。ただし、RESISTOGRAPH® は RINNTECH 社（ドイツ）の登録商標で、当社が使用している「レジ（Resi PD）」は IML 社（ドイツ）の製品です。両者は製造しているメーカーが異なります。呼び名の違いは「レジストグラフ・貫入抵抗測定器とは何か」で説明しています。
